Aritmética binaria
Sistemas de Numeración
Si partimos de un conjunto de reglas y convenios que nos permiten la representación de todos los números naturales mediante varias cifras o símbolos, tendremos lo que denominamos un sistema de numeración.
Los múltiples sistemas de numeración que existen podemos considerarlos agrupados en dos grandes familias: aquellos en los que se toma como base el Valor Absoluto y los basados en el Valor Relativo.
Los sistemas basados en el valor absoluto de las cifras, descomponen el número que se trate en suma o diferencia de otros varios, cada uno de los cuales está representado por un símbolo especial que adopta un valor constante, independiente del lugar que ocupe. Un sistema de esta familia es el de numeración Romana.
En este sistema el valor de C, por ejemplo, siempre será cien independientemente de su posición:
Los sistemas basados en valores relativos, son aquellos en los que un mismo signo representa valores distintos, según el lugar que ocupe.
De entre los distintos sistemas de esta familia, merece destacar, por ser el más conocido y empleado, el sistema decimal.
El sistema decimal fue ideado en la India en el siglo V a.C., posteriormente traído a Europa por los árabes en la Edad Media. Está fundamentado en el número diez, habiéndose elegido este número y no otro, por ser diez los dedos de las manos y emplearse habitualmente éstos para contar. Este sistema consta de diez dígitos diferentes:
con los que debidamente agrupados puede representarse cualquier número. En este sistema cada signo tiene un valor en función del lugar que ocupa, siendo éste igual a su valor absoluto multiplicado por las sucesivas potencias de 10 (10⁰, 10¹, 10², etc.).
Así el número dos mil quinientos treinta y dos equivaldrá a:
o lo que es lo mismo:
Si de lo anterior eliminamos las potencias y los símbolos de suma, nos queda el manejo habitual y más sencillo de estas cifras. En nuestro ejemplo anterior: 2532.
Un mismo número puede expresarse mediante muchas combinaciones de símbolos diferentes. Existen muchos sistemas de numeración, pero todos representan los mismos números.
La construcción de un sistema de numeración cualquiera debe estar regida por la siguiente regla:
El valor decimal de un número es igual a la suma de los valores de los dígitos o símbolos correspondientes, multiplicados por la base elevada a la potencia definida por su posición.
es decir, si:
será:
Por ejemplo, en la expresión
la base es 8 (B = 8) y el número de cifras es 3 (P = 3), con lo cual:
Con lo que tenemos que el valor decimal del número 432 escrito en base 8 es 282; lo que podemos expresar como:
En todos los sistemas de numeración se usa el cero para representar la ausencia de símbolo o dígito representativo en la posición ocupada por él, lo que permite situar los demás símbolos significativos en la posición adecuada para representar una determinada cantidad.
De acuerdo con estas definiciones podemos obtener el valor decimal de un número escrito en un sistema de numeración de base cualquiera.
Sistema Hexadecimal (Base 16)
Este sistema consta de dieciséis símbolos diferentes:
correspondiendo a la F el valor decimal del 15. El significado de los números hexadecimales se hace evidente con el desarrollo de las potencias de base 16.
Por ejemplo, 2CA equivale en sistema decimal a:
Equivalencias entre sistemas
En la tabla siguiente se pueden observar las equivalencias de distintos sistemas de numeración.
Sistema Binario (Base 2)
El sistema de numeración binario utiliza solamente dos símbolos diferentes:
Exactamente igual que en los anteriores, cada símbolo tiene un valor en función del lugar que ocupa. Así, por ejemplo, el valor decimal del número 101011₂ es:
La equivalencia del sistema decimal y hexadecimal con el binario se puede ver en la tabla siguiente:
Fracciones con números binarios
Las fracciones se tratan de forma parecida a los números enteros, en este caso se asignan potencias negativas de dos hacia la derecha de la coma binaria. Por ejemplo, el valor decimal del número binario 0,1011 será:
Conversión de decimal a binario
Para convertir enteros decimales a la notación binaria, se divide el número decimal sucesivamente por 2 hasta que el cociente sea cero. Los restos de estas divisiones forman un número binario equivalente; el primer resto es la cifra más a la derecha mientras que el último resto es la cifra más a la izquierda.
Como ejemplo, vamos a convertir el número 13 a binario
Como podemos observar, el resultado será la lectura de los restos leída de derecha a izquierda.
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